前几天贴了两个极限相关的问题。我从这种奇怪的问题里面学到的，和以前的“把大象放进冰箱”的问题一样，也是关于宏观和微观的区别。（我周围的人已经快被我的这些怪问题给逼疯了）

第一个问题：

0.9999….无限循环和1那个大？

它们两个数学上严格相等。证明方法五花八门，可以开个小型博览会。我常常采用的简单方法是：

1/3 = 0.3333….
1/3 * 3 = 0.333… * 3
1 = 0.999…

我喜欢更加严谨一点的方法：

x = 0.999…
10 x = 9.999…
10 x = 9 + 0.999…
10 x = 9 + x
9x = 9
x = 1
所以 0.999… = 1

还有很多像前面的评论者所说的，找不出任何一个比0.999…大但是比1小的数，所以他们一样大；或者按照0.999…等于循环位除以9的标准算法，也就是9/9。。。等等

其实这只是一个初步的极限问题，真正比较麻烦的是乌龟和兔子的问题。

龟兔赛跑，兔子速度是乌龟的两倍。乌龟比兔子领先一米，一起起跑，却有种方法可以证明兔子永远追不上乌龟：

当兔子到了乌龟出发的地方，乌龟会前进1/2米；而当兔子到达1/2米的时候，乌龟又会前进1/4米。。。。总之，可以证明，只要兔子到达乌龟的前一个时刻所在的点，乌龟一定会前进刚才过去的时间段里面兔子前进距离的1/2。是否兔子永远追不上乌龟呢？

从微观看来，兔子追乌龟的每一步都追不上的结论都是成立的，不仅如此，更要命的是，这个算式还是无限循环的。好似无限个追不上，结果就更加追不上了，或者说，无限个小数的加和真的成了无限大一样。

但如果换个角度来说，从宏观看这个问题，兔子怎么可能追不上乌龟呢？

如果我们看一下乌龟跑出去的1/2 + 1/4 + 1/8 + ….到底有多远，就恍然大悟了。

x = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
2 * x = 1 + ( 1/2 + 1/4 + 1/8 + … )
2x = 1 + ( x )
x = 1
所以 1/2 + 1/4 + 1/8 + .. = 1

也就是，无论乌龟有多少个这样的小步子，最终他跑出的不过1米。从宏观上看，兔子将在1米处在数学上严格的和乌龟到达同一个点，而不管这个过程中有多少“细节”。

关注微观还是宏观

我们常说，什么事情都是积少成多。但这个等式要看小的到底有多小。

在微观层面有很多难以回答的问题，难做得决定，在宏观上，都变得简单。日常的决定，从微观上看，在取舍之间很难判断，无论往左还是往右，都会对项目的结果有一些小的影响；但是如果退出100米来看，就会发现，就算整个项目都不做了，对于大局都没有什么影响，又为什么囿于一个又一个的细节，钻进牛角尖呢？

人的脑子思考问题，除非经过特别的训练（微积分是训练的一种），都是线性的。而世界的比例，就像提出的两个极限问题一样，总是让人无法理解。数学问题如是，决策的问题如是，人生的问题也如是。

对于生活，我们都知道它是由一点一滴的构成的。没有一个一个的时间段，就没有月，就没有年。但是真正重要的还是那些宏观题：2007年你在干些什么呢？2006年呢？从年的角度看问题，很多的细节还那么重要吗？或许重要的是，2007年一年干了什么，而不是哪一秒钟干了什么吧。

注一：周一，我和文峰庆祝我们结婚五周年。幸福的五年，谢谢文峰的陪伴。我最值得骄傲的就是我的文峰和逸凡，他们让我的每一分钟都幸福。

注二：这周每天晚上7点半到8点，以及第二天中午12点半到一点，我会出现在上海电视台国际频道ICS的《说东道西》访谈节目。2000年，第一次在中央台的一个新闻节目的一个小小的角落露了一张小脸儿，兴奋得不得了；而这两天有了长篇幅的访谈节目，却对媒体失去了兴趣。就好像1997年做个人主页，以为整个互联网的人都会知道自己，到现在知道自己永远都仅仅是无数的独特的个体的一员；而电视，也千万不要以为上了电视就会有些什么不同。今天，我晚上有约，就忘记了上电视这码事情；文峰参加公司的活动，晚上不回家吃饭；逸凡的外公外婆因为听不懂节目里的英文，在周一播出的时候就直接换到了中央台的《周恩来在重庆》，而小逸凡更是对电视里爸爸没有一点兴趣，安心的玩自己的玩具。这个世界，并没有因为自己在电视上的出现有任何变化，而实质上，的确没有变化，一丁点变化也没有。

Google今日（3月19日）宣佈推出Google天際瀏覽器版本，讓用戶不需要下載任何軟體，就可在網路上直接觀賞天空中數百萬顆的星體。

Google天際瀏覽器版本包含了許多Google地球中，普遍受到歡迎的天際影像和功能，讓學生、業餘天文學家以及專業人士等對天文有興趣者，能以更簡單、容易的操作方式，一覽天空奧秘。

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